14 sept 2025

比例和百分比

比例是用来表示相对数量的

Exemples d’usage :

• 你的身高是我的两倍。
• 你的身高是我的二分之一。
• 成本占收入的百分之四十。

Notion :

fraction = ratio = rapport = proportion ≈ fréquence ≈ pourcentage ≈ taux, tout cela pour exprimer une quantité relative (pour exprimer une proportion dans un total, ou pour exprimer la grandeur relative).

Expressions mathématiques：

\[a/b = \frac{a}{b} = a : b = \frac{c}{100} = c \%.\]

比例定义等式： \(\text{rapport} = \frac{\text{quantité}~A}{\text{quantité}~B}\) 知道其中两者就能求出第三个数。

分数的运算

加法：先通分再做加减法： \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}.\)

乘法：分别对分子和分母做乘法： \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.\)

Exemples

相对比例可以做乘法： \(\text{rapport}~\alpha = \frac{\text{Grande}}{\text{Total}}, \quad \text{rapport}~\beta = \frac{\text{Grande verte}}{\text{Grande}} \implies \alpha \beta = \frac{\text{Grande verte}}{\text{Total}}.\)

抽样问题：

• 残次品检验。
• 生态学的例子：标记重补法（capture-marquage-recapture）来统计物种数量。

比例换算的问题：

Exercices

Exercice simple

Supposons que $15\%$ de $x$ soit égal à $20 \%$ de $y$. Quel pourcentage de $x$ représente $y$ ?

AMC 8 - Problem 11 (variation)

Le sommet d’un arbre est à $15$ mètres plus haut que celui d’un autre arbre. Les hauteurs des deux arbres sont dans le rapport $2:5$. En mètres, quelle est la hauteur de l’arbre le plus grand ?

AMC 8 - Problem 17

Le diagramme montre un octogone constitué de $10$ carrés unitaires. La partie située sous $\overline{PQ}$ est un carré unitaire et un triangle de base $5$. Si $\overline{PQ}$ divise l’aire de l’octogone en deux parties égales, quel est le rapport $\frac{XQ}{QY}$ ?

$\textbf{(A)}\ \frac 25 \qquad \textbf{(B)}\ \frac 12 \qquad \textbf{(C)}\ \frac 35 \qquad \textbf{(D)}\ \frac 23 \qquad \textbf{(E)}\ \frac 34$

AMC 8 - Problem 20

Dans une pièce, $2/5$ des personnes portent des gants et $3/4$ des personnes portent des chapeaux. Quel est le nombre minimum de personnes dans la pièce portant à la fois un chapeau et un gant ? $\textbf{(A)}\ 3 \qquad\textbf{(B)}\ 5\qquad\textbf{(C)}\ 8\qquad\textbf{(D)}\ 15\qquad\textbf{(E)}\ 20$

思考题

Steph a marqué $15$ paniers sur $20$ tentatives lors de la première mi-temps, et $10$ paniers sur $10$ tentatives lors de la deuxième mi-temps. Candace a tenté $12$ tirs lors de la première mi-temps et $18$ tirs lors de la deuxième mi-temps. Dans chaque mi-temps, Steph a obtenu un pourcentage de réussite plus élevé que Candace. Étonnamment, elles ont terminé avec le même pourcentage global de paniers réussis. Combien de paniers de plus Candace a-t-elle marqué dans la deuxième mi-temps par rapport à la première mi-temps ?

nom	1er mi-temps	2e mi-temps
Steph	15/20	10/10
Candace	?/12	?/18

行程问题

比例=速度

taux = vitesse : elle mesure la quantité de travail réalisé par unité de temps.

La vitesse pourrait désigner :

• la distance traversée par heure = km/h,
• l’angle tourné par seconde d’une machine (e.g. d’une grande roue),
• le nombre de problèmes résolus par minute,
• le nombre de voitures passant un carrefour par minute.

Exemples

AMC - Problem 8

Alors qu’Emily fait du vélo sur une longue route droite, elle aperçoit Emerson en train de patiner dans la même direction à $\frac{1}{2}$ km devant elle. Après l’avoir dépassé, elle peut le voir dans son rétroviseur jusqu’à ce qu’il se retrouve à $\frac{1}{2}$ km derrière elle. Emily roule à une vitesse constante de $12$ km par heure, et Emerson patine à une vitesse constante de $8$ km par heure. Pendant combien de minutes Emily peut-elle voir Emerson ? $\textbf{(A)}\ 6 \qquad\textbf{(B)}\ 8\qquad\textbf{(C)}\ 12\qquad\textbf{(D)}\ 15\qquad\textbf{(E)}\ 16$

Solution par vitesse relative :

因为是同方向行走，所以：

• Emily 和 Emerson 靠近到相遇花了 $1/2 \div (12 - 8) = 1/8$ 小时。
• Emily 和 Emerson 相遇到远离花了 $1/2 \div (12 - 8) = 1/8$ 小时。
• 总共 $1/8 + 1/8 = 1/4$ 小时。
• 换算成多少分钟？

Solution par équation :

假设用了时间 $t$ 赶上了 $1/2$ km。列方程并解方程： \(12t = 8t + 1/2 \implies t = ?\)

Exercice

两人面对面运动，速度相加

上面 Emily 和 Emerson 的问题，两者反方向运动的话，总时间应该是多少？

两者协作，速度相加

Alex, en utilisant la méthode de substitution ou d’élimination, peut résoudre $20$ équations à deux variables en $10$ minutes. Bob, qui utilise la méthode du produit diagonal, peut résoudre $20$ équations à deux variables en $2$ minutes. Combien de temps leur faudra-t-il pour résoudre $60$ équations à deux variables en travaillant ensemble ?